Händisches Wurzelziehen
Schon seit längerem war ich auf der Suche nach einem Algorithmus, um nur mit Papier und Bleistift bewaffnet die Quardatwurzel einer Zahl zu berechnen. Nachdem ich endlich fündig geworden bin (auch wenn die Erklärung auf der Seite mehr als kryptisch war) will ich mein neu erworbenes Wissen niemandem vorenthalten.
Nehmen wir als frei gewähltes Beispiel die Zahl 76543,21. Die Wurzel lässt sich durch den folgenden Algorithmus berechnen:
- Gruppieren der Zahl zu je zwei Ziffern, ausgehend vom Dezimalpunkt. Bei einer ungeraden Anzahl von Ziffern bleibt links eine Ziffer alleine stehen.
- Suche die größte Zahl, deren Quadrat kleiner gleich der ersten Zifferngruppe ist. Dies ist die erste Approximation der Wurzel (genauer gesagt, die erste Ziffer der Wurzel).
- Subtrahiere das Quadrat der ersten Approximation von der ersten Zifferngruppe und bringe die nächste Grupper herunter.
- Verdopple die aktuelle Approximation und schreibe sie links neben die neue Zifferngruppe - nennen wir sie X.
- Suche die größtmögliche Ziffer R, sodass (10*X+R)*R kleiner gleich der aktuellen Zifferngruppe ist, und schreibe sie links neben die verdoppelte aktuelle Approximation. Anderns ausgedrückt, suche die Einerstelle R, sodass XR*R kleiner gleich der aktuellen Zifferngruppe ist.
- Subtrahiere das Produkt XR*R, und bringe die nächste Zifferngruppe herunten. Die neue Approximation ist ist nun die Verkettung der bisherigen Approximation mit der gerade gefunden Ziffer R.
- Wiederhole die Schritte 4 bis 6, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist.
Die konkrete Ableitung sieht dann wie folgt aus:
| 2 | 7 65 43, 21 | Schritt 1: Gruppieren |
| 4 | Schritt 2: Quadrat der ersten Approximation abziehen: 2^2 = 4 | |
| 47 | 3 65 | Schritt 3: Subtrahieren und nächste Grupper herunter bringen: 3 65 |
| Schritt 4: Verdoppeln der Approximation: 2*2 = 4 | ||
| Schritt 5: Maximum suchen von (4R*R) < 365 = 7 | ||
| 3 29 | Schritt 6: Subtrahieren und herunter bringen | |
| 546 | 36 43 | |
| 32 76 | ||
| 5526 | 3 67, 21 | |
| 3 31, 56 | ||
| 35, 65 | --> 276,6 abgeschnitten, nicht gerundet! |
Der Algorithmus basiert auf der Formel: (X+R)² = X² + 2RX +R² = X² + R(2X + R). Wer genauer wissen möchte warum dieser Algorithmus funktioniert, sei auf eine »ausführlichere Erklärung der Grundlagen« in engischer Sprache verwiesen.